1ª Etapa - Trigonometria no Triângulo Retângulo:

• História da Trigonometria;
• Definição das relações trigonométricas - Seno, Cosseno e Tangente;
• Resolução de Problemas contextualizados envolvendo as relações trigonométricas no triângulo retângulo. 

A história da Trigonometria...

Para iniciar o conteúdo “Trigonometria”, apresentaremos várias informações que resumem a origem.

Em primeiro lugar, o significado do nome: ‘trigonometria ’ que vem do grego:

                                                 tri - três

                                               gono - ângulo

                                             metrien – medida

• A origem da Trigonometria surgiu quando os astrônomos tiveram a necessidade de medir distancias inacessíveis. O astrônomo grego Aristarco de Samos (310 a.c. - 230 a.c.) foi um dos primeiros a calcular as distâncias que separam a Terra, a Lua e o Sol; para isto ele usou relações entre as medidas dos lados e as medidas dos ângulos internos de triângulos retângulos, denominadas: seno, cosseno e tangente. A parte da matemática que estuda essas relações recebe o nome de trigonometria,  e a ferramenta auxiliar utilizada para o seu desenvolvimento é o triângulo. Com isso os astrônomos calcularam a medida do raio da Terra, a distância da Terra à lua e a distância da Terra ao sol. 
• A história da trigonometria torna-se incerta. Entretanto, pode-se dizer que o início do desenvolvimento da trigonometria se deu principalmente devido aos problemas gerados pela Astronomia, Agrimensura e Navegações, por volta do século IV ou V a.C., com os egípcios e babilônios. É possível encontrar problemas envolvendo a cotangente no Papiro Rhind e também uma notável tábua de secantes na tábula cuneiforme babilônica Plimpton 322.

- Papiro Rhind, Museu de Londres.

• A palavra trigonometria significa medida das partes de um triângulo visto um pouco do significado já acima). Não se sabe ao certo se o conceito da medida de ângulo surgiu com os gregos ou se eles, por contato com a civilização babilônica, adotaram suas frações sexagesimais. Mas os gregos fizeram um estudo sistemático das relações entre ângulos - ou arcos - numa circunferência e os comprimentos de suas cordas, como na imagem abaixo:

Definição das relações trigonométricas: Seno, Cosseno e Tangente.

• Apresentando um triângulo retângulo com um de seus ângulos internos igual a θ, define-se sen (θ) como sendo a razão entre o cateto oposto a θ e a hipotenusa deste triângulo, resultando-se na fórmula logo acima.

Quer saber o que é Cosseno? Leia logo abaixo e fique a vontade! :)

• Em um triângulo retângulo, o Cos de um ângulo agudo é dado pelo Quociente entre o cateto adjacente a esse ângulo e a hipotenusa.

Em outras palavras:

• O cosseno de um ângulo agudo é a Razão (divisão) entre a medida do cateto adjacente e a medida da hipotenusa.

Assim, resultando em sua fórmula apresentada logo acima.

• Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ângulo, ou seja, pode ser definida como a razão entre o seno deste ângulo e o seu cosseno, expressada na fórmula acima.

Seno:

Problema 1:

Uma torre de transmissão de TV de 60m de altura está implantada num terreno horizontal. Um cabo de tensão vai desde o solo até ao ponto mais alto da torre e faz com o solo um ângulo de 55º. Qual o comprimento do cabo?

Como se trata de um triângulo retângulo podemos afirmar que sen 55º = 60/x ; x = 60/ sen 55°. Consultando a tabela das razões trigonométricas, temos sen 55º = 0.819, logo: x = 60/0.819 = 73,26m (aproximadamente), sendo o comprimento do cabo.

Problema 2:

Uma escada de 4,5 m de comprimento está apoiada num muro vertical. O ângulo que a escada faz com o chão é de 62º. Sabendo que sen 62º = 0,88, calcule a altura h.

Bom, como o muro é perpendicular ao chão, o triângulo da figura se torna um retângulo, então: 

sen 62º= h/4,5 

 h = 4,5 . sen 62°

 h = 4,5 . 0,88 = 3,96 (2 c.d)

0 3,96 é a altura h, aproximadamente.

Cosseno:

A figura abaixo representa um barco atravessando um rio, partindo de A em direção ao ponto B. A forte correnteza arrasta o barco em direção ao ponto C, segundo um ângulo de 60º. Sendo "A" a largura do rio de 120 m, à distância percorrida pelo barco até o ponto C, é:

1ª imagem:

2ª imagem:

Assim, de acordo com as duas imagens apresentadas, conhecendo a medida do cateto adjacente ao ângulo de 60° e desejando calcular a medida da hipotenusa do triângulo ABC, lá se vai uma dica: É melhor escolher trabalhar com o cosseno de 60°.

Logo, coloco em prática o cálculo do exercício:

cos 60º = 120/x

1/2 = 120/x —> 240.

x = 240

Tangente:

Calcule a altura do seguinte castelo:

Seja x a medida do cateto oposto ao ângulo indicado na imagem acima, já por observação temos:

tg18° = x/140 = 40 . tg18°

É necessário, para isso, calcular a tangente, obtendo:

tg18° = 0,325.

Assim: x = 40.0,325 = 13

13 + 1,2 = 14,2 (altura do castelo).

2ª Etapa - Trigonometria no Círculo:

• Fenômeno Periódicos;
• Círculo Trigonométrico - medidas de arcos em radianos - correspondência entre radianos e graus, arcos côngruos - menor determinação positiva;
• Funções Trigonométricas - Seno, cosseno e Tangente. Amplitude, domínio, período e imagem;
• Equações trigonométricas simples envolvendo (Seno, Cosseno e Tangente).

Fenômenos Periódicos:

O que são?

• Chamamos de um fenômeno de periódico aquele que se repete sempre após o mesmo intervalo de tempo. Um exemplo mais simples de um fenômeno de periódico é o dia. O movimento do Sol que aparecer pela manhã e se por no fim da tarde até novamente aparecer de novo, determina o que chamamos de dia. Um outro conceito que ajuda a complementar esse é que os fenômenos periódicos são aqueles que se repetem periodicamente ou seja, a cada período inteiro.

Por que são importantes?

• Os fenômenos periódicos podem ser muito úteis para medir a passagem do tempo. Os corpos celestes foram muito importantes por que, entre eles, há diversos que executam um movimento periódico que podem ser percebidos por nós e por isto, foram utilizados para construir o nosso calendário. Estando na Terra, como nós estamos, e olhando para o céu nós podemos perceber muitos movimentos periódicos. Os mais fáceis de observar são os movimentos do Sol e da Lua. Muitos fenômenos ou situações que estão presentes em nosso dia a dia são periódicos, isto é, de tempos em tempos se repetem, e um outro exemplo que colabora com essa afirmação é o nascer do sol e por do sol.
• Um outro bom exemplo é a função sen x pois a cada período de 2π tudo volta a se repetir:
• sen 0 = 0, sen 90º= 1 , sen 180º= 0, sen 270º= -1, sen 360º(ou 0º) = 0.
• A partir daí mais uma volta completa (2π), onde todos os valores se repetem  sucessivamente.
• As fases da lua: A cada 28 dias se repetem: fenômeno físico periódico. (período - 28 dias) - (4 fases - nova, crescentes, cheia e minguante- que duram sete dias cada uma 4 x 7 = 28 dias).

Curiosidades: As funções trigonométricas podem ser modelos matemáticos de vários fenômenos que se repetem como as variações diárias na temperatura da atmosfera terrestre, a pressão sanguínea do coração e o nível de água em uma bacia marítima devido à sua periodicidade.

O Círculo Trigonométrico:

Primeiramente, iremos apresentar a sua definição:

Círculo trigonométrico: É uma circunferência orientada de raio unitário (r=1), cujo centro coincide com a origem de um sistema cartesiano ortogonal. Além disso, existem dois sentidos de marcação dos arcos no ciclo: o sentido positivo, chamado de anti-horário, que se dá a partir da origem dos arcos até o lado terminal do ângulo correspondente ao arco; o sentido negativo, ou horário, que se dá no sentido contrário ao anterior, demonstrado na imagem abaixo:

GRAU:

• Um grau é definido como a medida do ângulo central subtendido por um arco igual a 1/360 da circunferência que contém o arco. (Indica-se 1º). Então podemos dizer que uma circunferência (ou arco de uma volta) mede 360º.

Não podemos deixar de falar sobre a circunferência, sem apresentar osradianos.

RADIANOS:

• É a medida de um arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o referido arco. Como o arco está associado a um ângulo central, também podemos dizer que radiano é a medida do ângulo central que determina na circunferência um arco cujo comprimento é igual ao raio. Uma vez que uma circunferência qualquer tem comprimento, o arco de uma volta tem medida igual a 2π (Pi) radianos.

Abaixo, a representação do círculo trigonométrico:

Um pouquinho sobre os Arcos Côngruos e Notáveis:

Arcos Côngruos

1. Todos os arcos no círculo trigonométrico possuem determinações, isto é, tem origem e extremidade. Dois ou mais arcos podem ter a mesma determinação, mas não podemos garantir que eles possuam o mesmo comprimento, pois ocorre que eles podem possuir um número inteiro de voltas completas diferentes. Nesse caso devemos aplicar uma definição geral para representar arcos e todos os seus côngruos. 
2. Se um arco mede α graus, podemos expressar todos os arcos côngruos a ele da seguinte forma: α + 360º*k, k Є Z. Caso a medida do ângulo do arco seja dada em radianos, representamos por: α + 2π*k, k Є Z. 
3. A determinação principal de um arco que mede α (graus ou radianos) é dada de acordo com as definições: 0º ≤ α < 360º ou 0 ≤ α < 2π. No caso de um ângulo maior que 360º devemos realizar a divisão por 360º e considerar o resto o valor da determinação principal. O resultado da divisão mostrará quantas voltas o arco realizou.

Abaixo, segue alguns exemplos:

1º exemplo:

Considerando o arco α = 2100º, qual será a sua determinação principal.
 2100º : 360º = quociente 5 e resto igual a 300. Portanto, o arco possui determinação principal no 3º quadrante (300º), com 5 voltas completas.

2º exemplo:

Dado o arco 17π/4 rad, a sua determinação principal será:
 17π/4 rad = 16π/4 + π/4 = 4π + π/4, onde:
 4π = corresponde a duas voltas completas
π/4 = determinação principal (45º – 1º quadrante).

3º exemplo:

Calcule a determinação principal do arco 26π/3 rad.
 26π/3 rad = 6π/3 + 6π/3 + 6π/3 + 6π/3 + 2π/3 = 24π/3 + 2π/3 = 8π + 2π/3
 8π = quatro voltas completas.
2π/3 = determinação principal (120º – 2º quadrante).

Arcos Notáveis

São os arcos que possuem diversas propriedades importantes. São eles: 30º, 45º e 60º.

Funções Trigonométricas: Seno, Cosseno e Tangente.

Antes de começar a apresentar cada função, é importante destacar algumas informações:

As funções Trigonométricas são funções angulares, que caracteriza uma grande importância no estudo dos triângulos e na modelação de fenômenos periódicos, sendo considerada um ramo na matemática.

E não para por aí! ...

Além de estudar estes itens, ela estuda também as funções circulares: seno, cosseno, e tangente, que logo abaixo estará explicado detalhadamente cada função.

• Função Seno (y = sen x);

Chamamos de função seno a função real de variáveis reais que associa a cada número real x o valor real sen x, ou seja: f: R -> R. Assim, sua representação fica da seguinte forma: f(x) = sen x. O sinal da função f(x) = senx é positivo no 1º e 2º quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 3º e 4º quadrantes. Observe na seguinte imagem:

Na circunferência, o seno é representado pelo eixo vertical:

• Função Cosseno (y = cos x);

Chamamos de função cosseno a função f: R -> R que associa a cada número real x , o cosseno, então, sua representação fica da seguinte forma: f(x) = cos x. O sinal da função f(x) = cosx é positivo no 1º e 4º quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 2º e 3º quadrantes. Observe na seguinte imagem:

Na circunferência, o cosseno é representado pelo eixo horizontal:

• Função Tangente (y = tg x);

Chamamos de função tangente a função f: E -> R que a cada número x € E, com E = {x € R/ x ≠ ½ π + kπ; k € Z} associa a tangente desse número: f: E -> R, resultando em sua representação: f(x)=tg x.

Sinais da função Tangente:

• Valores positivos nos quadrantes ímpares;
• Valores negativos nos quadrantes pares;
• Crescente em cada valor.

A linha pontilhada em azul, representa a Tangente na circunferência:

O Link abaixo apresenta a formação dos gráficos das três funções: Seno, Cosseno e Tangente.

http://www.somatematica.com.br/softOnline/trigo.html

Amplitude, Domínio, Período e Imagem:

Amplitude

A amplitude é a metade da distância vertical entre um ponto mínimo a um ponto máximo, ou seja: A = (ymax - ymin).

Domínio

O conjunto D, chamado de domínio da função, é o conjunto onde a função é definida, ou seja, ele contém todos os elementos x para os quais a função deve ser definida, sendo um conjunto de saída, ou seja, o conjunto dos elementos que utilizamos como x na função.

Para reforçar o entendimento sobre o conjunto D, é necessário ressaltar algumas informações básicas:

Quando uma questão pergunta o domínio de uma função, é correto responder qual é o maior domínio possível para aquela função.

Exemplo: Qual o domínio da função real f(x) = 2x+3?

Bom, a resposta correta seria: D={2, 3, 4, 5}, pois são todos os valores possíveis de ser colocado em f(x). Porém, este é um possível domínio para f(x), mas não seria o maior domínio possível, pois eu poderia ter falado a seguinte representação:D={2,3,4,5,6,7}, pois o domínio é composto por todos os números naturais. Mas, existe um conjunto que é maior do que os naturais e que pode ser colocado, respectivamente, na função , que é o conjunto dos números reais, no qual nenhum número real está proibido de ser substituído por x nesta função.

Assim, para a função real f(x)=2x+3 o domínio é D=R.

Período

À distância entre dois pontos máximos ou o intervalo de repetição da função denominamos período.

Imagem

Um outro elemento importante dos gráficos é o conjunto imagem, ou seja, o intervalo de variação da função. Para os gráficos das funções de Seno e Cosseno, o conjunto imagem é [-1,1], devido a amplitude que é 1.

Abaixo, encontra-se a representação da amplitude e período de um gráfico:

Equações Trigonométricas simples envolvendo (seno, cosseno e tangente).

Para que exista uma equação qualquer é preciso que tenha pelo menos uma incógnita e uma igualdade.

Agora, para ser uma equação trigonométrica é preciso que, além de ter essas características gerais, é preciso que a função trigonométrica seja a função de uma incógnita.

sen x = cos 2x

sen 2x – cos 4x = 0

4 . sen3 x – 3 . sen x = 0

São exemplos de equações trigonométricas, pois a incógnita pertence à função trigonométrica.

2 + sen 30° . (x + 1) = 15

Esse é um exemplo de equação do segundo grau e não de uma equação trigonométrica, pois a incógnita não pertence à função trigonométrica.

Grande parte das equações trigonométricas é escrita na forma de equações trigonométricas elementares ou equações trigonométricas fundamentais, representadas da seguinte forma:

sen x = sen a

cos x = cos a

tg x = tag a

Cada uma dessas equações acima possui um tipo de solução, ou seja, de um conjunto de valores que a incógnita deverá assumir em cada equação.

3ª Etapa:

• Gráficos de funções periódicas envolvendo senos e cossenos;
• Gráficos de funções do tipo: y = C + A sen Bx ou y = C + A cos Bx ; período e amplitude de uma função trigonométrica, equações trigonométricas. 

Gráfico de funções do tipo: y = C + A sen Bx ;

1ª Representação:

2ª Representação:

Período: Nos gráficos da função de seno, o período corresponde a 2π radianos (360º) que, respectivamente corresponde a uma volta no círculo trigonométrico.

Amplitude: Nas imagens que representam os gráficos das funções de Seno, nota-se que a amplitude é igual a 1, pois como foi visto nas postagens acima, a amplitude é a metade da distância entre um ponto mínimo a um ponto máximo na linha vertical de um gráfico.

• Gráfico de funções do tipo: y = C + A cos Bx ;

1ª Representação:

2ª Representação:

Período: Nos gráficos das funções de Cosseno, o período também corresponde a 2π radianos (360º), correspondente a representação de uma volta no circulo trigonométrico.

Amplitude: Nas imagens que representam os gráficos das funções de cosseno, a amplitude também é denominada 1, como nas representações dos gráficos do Seno.

Software de simulação:

Software Trigonométrico - Simulação

A simulação acima apresenta dados referentes as funções trigonométricas no circulo trigonométrico. Neste mesmo software, as funções: seno, cosseno e tangente estão sendo representadas através da circunferência, apresentando seus respectivos gráficos.

Vídeo: Funções Trigonométricas.

Este vídeo explica detalhadamente as construções dos gráficos das funções: Seno, Cosseno e Tangente.

Fonte: www.youtube.com